[Python 파이썬] 백준 9095번 - 1, 2, 3 더하기

2024년 8월 14일

문제 링크 : 백준 9095번 - 1, 2, 3 더하기

문제

정수 4를 1, 2, 3의 합으로 나타내는 방법은 총 7가지가 있다. 합을 나타낼 때는 수를 1개 이상 사용해야 한다.

• 1+1+1+1
• 1+1+2
• 1+2+1
• 2+1+1
• 2+2
• 1+3
• 3+1

정수 n이 주어졌을 때, n을 1, 2, 3의 합으로 나타내는 방법의 수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 테스트 케이스의 개수 T가 주어진다. 각 테스트 케이스는 한 줄로 이루어져 있고, 정수 n이 주어진다. n은 양수이며 11보다 작다.

출력

각 테스트 케이스마다, n을 1, 2, 3의 합으로 나타내는 방법의 수를 출력한다.

 

알고리즘 분류

• 다이나믹 프로그래밍

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문제 접근

 

테스트 케이스마다 11 미만의 양의 정수 n이 주어졌을 때, n을 1, 2, 3의 합으로 나타내는 방법의 개수를 구하는 문제이다.

 

이 문제에서는 n이 최대 10이라 브루트포스 방식으로도 구할 수 있겠지만, n이 엄청 크다면 이는 절대 제한시간안에 풀 수 없는 문제가 된다.

 

기저조건인 피연산자 1, 2, 3 각각을 1, 2, 3의 합으로 나타내는 방법의 수는 다음과 같다.

 

 

n = 1일 때 1개, n = 2일 때 2개, n = 3일 때 4개의 방법을 가지고 있다.

 

n = 4일 때를 보자.

 

 

n = 4일 때 경우의 수들을 보면 규칙을 찾을 수 있다.

맨 뒤에 더하는 수가 1일 때, 2일 때, 3일 때를 기준으로 위처럼 나누어 보자.

 

 

맨 뒤에 더하는 수가 1일 때의 경우들은 위와 같다.

 

맨 뒤에 1을 더하는 것을 제외하고 본다면, n = 3일 때의 모든 방법들에 1을 더한 꼴과 같다는 것을 알 수 있다.

 

 

그러므로 n = 4일 때는 n = 3일 때의 모든 방법들에 1을 더한 것과 동일한 방법이 내포되어 있음을 알 수 있다.

n = 4일 때의 방법의 개수는 n = 3일때의 방법의 개수를 부분집합으로 그대로 채용해도 무방하다.

 

 

맨 뒤에 더하는 수가 2일 때의 경우들은 위와 같다.

 

맨 뒤에 2를 더하는 것을 제외하고 본다면, n = 2일 때의 모든 방법들에 2를 더한 꼴과 같다는 것을 알 수 있다.

 

 

따라서 n = 4일때의 방법의 개수는 n = 2일 때의 방법의 개수를 부분집합으로 그대로 채용해도 무방하다.

 

 

맨 뒤에 더하는 수가 3일 때의 경우는 위와 같다.

 

맨 뒤에 3을 더하는 것을 제외하고 본다면, n = 1일 때의 모든 방법들에 3을 더한 꼴과 같다는 것을 알 수 있다.

 

 

따라서 n = 4일때의 방법의 개수는 n = 1일 때의 방법의 개수를 부분집합으로 그대로 채용해도 무방하다.

 

여기서 우리는 점화식을 찾을 수 있는데, 이는 다음과 같다.

 

 

n이 기저조건 1 ~ 3이 아닌 4 이상의 수이며, n을 1, 2, 3의 합으로 나타내는 방법의 수는 위와 같다.

 

이를 말로 풀어본다면 다음과 같다.

 

n을 1, 2, 3의 합으로 나타내는 방법은,

●  n - 1의 모든 방법의 수 각각에 1을 더하는 것
●  n - 2의 모든 방법의 수 각각에 2을 더하는 것
●  n - 3의 모든 방법의 수 각각에 3을 더하는 것

과 같으므로 n - 1의 방법의 가짓수, n - 2의 방법의 가짓수, n - 3의 방법의 가짓수를 모두 더한 개수가 n을 나타내는 방법의 가짓수가 된다.

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입력 예제

 

3
4
7
10

 

 

 

출력 예제

 

7
44
274

 

 

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전체 코드

 

# 9095

if __name__ == "__main__":
    # 기저 조건 n = 1 ~ 3, 0번째 인덱스는 더미 인덱스
    dp = [0, 1, 2, 4]
    # n은 최대 10 이므로 n = 10까지 dp를 채워줌
    for i in range(4, 11):
        dp.append(dp[i - 1] + dp[i - 2] + dp[i - 3])

    T = int(input())
    for _ in range(T):
        print(dp[int(input())])

 

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풀이 후기

 

현재 집합 내에 속한 부분 집합 중, 이미 다뤘던 부분 집합을 활용해내는 방향으로 규칙을 찾아야하는 전형적인 DP 문제였다.